Algèbre linéaire Exemples

$5 A = [\begin{array}{c} 5 & 1 \\ 32 & 6 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 - 32 \cdot 1$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 - 32 \cdot 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$30 - 32$

Étape 2.2.2

Soustrayez $32$ de $30$ .

$- 2$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 6 & - 1 \\ - 32 & 5 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 6 & - 1 \\ - 32 & 5 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3)) & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 32 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 16)) & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 16) & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ - 1 \cdot - 16 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ 16 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ 16 & - 5 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Étape 7.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ 16 & \frac{- 5}{2} \end{array}]$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{1}{2} \\ 16 & - \frac{5}{2} \end{array}]$